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现代宇宙学：从大爆炸到暗物质

宇宙学核心课程 · 高中进阶篇

第一章：宇宙的年龄与尺度

1.1 哈勃定律

哈勃定律：v = H₀ × d

其中：
├── v: 星系退行速度（km/s）
├── d: 星系距离（Mpc，百万秒差距）
├── H₀: 哈勃常数 ≈ 67.4 ~ 73.0 km/s/Mpc
└── 1 Mpc ≈ 3.26 × 10⁶ 光年

含义：
├── 宇宙在膨胀
├── 越远的星系退行越快
└── 宇宙有一个起点（大爆炸）

1.2 宇宙距离阶梯

测量宇宙距离的方法（由近到远）：

第 1 级：太阳系内（< 1000 AU）
├── 雷达测距：向行星发射无线电波，测量回波时间
├── 精度：±1 km
└── 最远：金星约 1.3 AU

第 2 级：邻近恒星（< 1000 光年）
├── 视差法：地球绕太阳运动时，恒星位置的微小变化
├── d = 1/p（p 为视差角，角秒）
├── Gaia 卫星精度：±10 微角秒
└── 最远：约 10,000 光年

第 3 级：银河系内（< 10 万光年）
├── 标准烛光：造父变星（周期-光度关系）
├── 天琴座 RR 变星
├── 主序星拟合
└── 精度：±10%

第 4 级：邻近星系（< 1 亿光年）
├── Ia 型超新星（标准烛光，峰值光度一致）
├── 塔利-费舍尔关系（旋涡星系）
├── 表面亮度起伏
└── 精度：±5%

第 5 级：遥远星系（> 10 亿光年）
├── Ia 型超新星（高红移）
├── 重子声学振荡（BAO）
├── 引力透镜时间延迟
└── 精度：±10%

1.3 红移与宇宙膨胀

红移（Redshift）：

定义：z = (λ_obs - λ_emit) / λ_emit

物理意义：
├── z < 0.1: 多普勒红移（星系本动速度）
├── 0.1 < z < 10: 宇宙学红移（空间膨胀拉伸光波）
└── z > 10: 极高红移（早期宇宙）

关键红移值：
├── z ≈ 0: 现在
├── z ≈ 1: 宇宙年龄约 60 亿年
├── z ≈ 10: 宇宙年龄约 5 亿年（再电离时期）
├── z ≈ 1100: 宇宙微波背景辐射（复合时期）
├── z ≈ 10⁹: 大爆炸核合成
└── z → ∞: 大爆炸奇点

第二章：宇宙微波背景辐射（CMB）

2.1 CMB 的发现与意义

CMB 关键参数：
├── 温度：T = 2.725 K（-270.4°C）
├── 发现：1965 年 Penzias & Wilson（诺贝尔奖）
├── 精确测量：COBE → WMAP → Planck 卫星
├── 黑体谱：完美符合普朗克公式
├── 各向异性：ΔT/T ≈ 10⁻⁵（十万分之一）
└── 极化：E 模式已测，B 模式待测

2.2 CMB 功率谱

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def cmb_power_spectrum(ell):
    """
    CMB 温度功率谱近似计算
    
    参数：
        ell: 多极矩（2 ~ 2500）
    
    返回：
        C_ell: 功率谱值
    """
    # 声学峰位置（近似）
    peaks = [220, 540, 810, 1100, 1400]
    peak_heights = [8000, 3500, 2500, 1800, 1200]
    peak_widths = [80, 100, 100, 100, 100]
    
    # 阻尼尾（Silk damping）
    damping = np.exp(-ell / 3000)
    
    # 萨克斯-沃尔夫效应（大尺度）
    sw_plateau = 1000 * (ell / 100)**(-0.9)
    
    # 声学峰叠加
    spectrum = sw_plateau * damping
    for mu, A, sigma in zip(peaks, peak_heights, peak_widths):
        spectrum += A * np.exp(-(ell - mu)**2 / (2 * sigma**2))
    
    return spectrum

# 绘制功率谱
ell = np.arange(2, 2500)
C_ell = cmb_power_spectrum(ell)

plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.loglog(ell, ell * (ell + 1) * C_ell / (2 * np.pi))
plt.xlabel('Multipole moment ℓ')
plt.ylabel('ℓ(ℓ+1)C_ℓ / 2π (μK²)')
plt.title('CMB Temperature Power Spectrum')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

2.3 CMB 揭示的宇宙参数

Planck 2018 宇宙参数：

┌─────────────────────────────────────────────────────────┐
│ 参数                    │ 值              │ 精度        │
├─────────────────────────────────────────────────────────┤
│ 哈勃常数 H₀             │ 67.4 km/s/Mpc   │ ±0.5       │
│ 物质密度 Ω_m            │ 0.315           │ ±0.007     │
│ 暗能量密度 Ω_Λ          │ 0.685           │ ±0.007     │
│ 重子密度 Ω_b            │ 0.049           │ ±0.0005    │
│ 标量谱指数 n_s          │ 0.965           │ ±0.004     │
│ 光学深度 τ              │ 0.054           │ ±0.007     │
│ 物质涨落 σ₈            │ 0.811           │ ±0.006     │
└─────────────────────────────────────────────────────────┘

含义：
├── 宇宙年龄：138 亿年
├── 宇宙是平坦的（Ω_total ≈ 1）
├── 暗能量占 68.5%，暗物质占 26.5%，普通物质仅 5%
└── 宇宙在加速膨胀

第三章：暗物质与暗能量

3.1 暗物质证据

暗物质的四条独立证据：

1. 星系旋转曲线
   ├── 观测：星系外围恒星速度不随距离下降
   ├── 预期：v ∝ 1/√r（开普勒定律）
   ├── 实际：v ≈ 常数（平坦旋转曲线）
   └── 结论：存在暗物质晕

2. 星系团动力学
   ├── 维里定理：2K + U = 0
   ├── 观测：星系速度弥散太大
   ├── 可见物质不足以束缚星系团
   └── 结论：暗物质提供额外引力

3. 引力透镜
   ├── 光线经过大质量天体时弯曲
   ├── 观测：背景星系图像扭曲
   ├── 质量重建：远超可见物质
   └── 结论：暗物质分布与可见物质不同

4. CMB 各向异性
   ├── 声学峰位置对物质密度敏感
   ├── 第一峰位置：确定 Ω_m
   ├── 峰值高度比：确定 Ω_b / Ω_m
   └── 结论：暗物质 ≈ 5 × 重子物质

3.2 暗物质候选者

暗物质粒子候选：

1. WIMP（弱相互作用大质量粒子）
   ├── 质量：10 ~ 1000 GeV/c²
   ├── 相互作用：弱核力 + 引力
   ├── 探测实验：XENON1T, LZ, PandaX
   └── 现状：尚未发现，参数空间不断缩小

2. 轴子（Axion）
   ├── 质量：10⁻⁶ ~ 10⁻³ eV/c²
   ├── 起源：解决强 CP 问题
   ├── 探测实验：ADMX, CAST
   └── 特点：可转化为光子（在强磁场中）

3. 惰性中微子（Sterile Neutrino）
   ├── 质量：keV 量级
   ├── 相互作用：仅引力
   ├── 探测：X 射线谱线（3.5 keV 线争议）
   └── 特点：可能是温暗物质

4. 原初黑洞
   ├── 质量：任意（从行星质量到太阳质量）
   ├── 起源：早期宇宙密度涨落
   ├── 探测：引力波、微引力透镜
   └── 现状：LIGO 事件后重受关注

3.3 暗能量与宇宙加速

暗能量状态方程：

p = w × ρ × c²

其中：
├── p: 暗能量压强
├── ρ: 暗能量密度
├── c: 光速
└── w: 状态方程参数

不同模型：
├── 宇宙学常数 Λ：w = -1（恒定密度）
├── 精质（Quintessence）：-1 < w < -1/3（动态场）
├── 幽灵能量（Phantom）：w < -1（密度增加，大撕裂）
└── 当前观测：w = -1.03 ± 0.03（接近宇宙学常数）

宇宙命运：
├── w = -1: 永远加速膨胀，热寂
├── w > -1: 加速减缓，可能停止
├── w < -1: 大撕裂（Big Rip），所有结构被撕碎
└── 当前最佳拟合：w ≈ -1（热寂）

第四章：引力波天文学

4.1 引力波基础

引力波：时空的涟漪

产生机制：
├── 加速的质量四极矩
├── 双星系统（黑洞、中子星）
├── 超新星爆发
├── 宇宙早期相变
└── 原初引力波（暴胀）

波形特征：
├── 应变 h ≈ 10⁻²¹（LIGO 探测到的典型值）
├── 频率：10 Hz ~ 10 kHz（地面探测器）
├── 传播速度：光速 c
└── 偏振：+ 和 × 两种模式

4.2 LIGO 探测原理

class LIGODetector:
    """
    LIGO 激光干涉引力波探测器
    
    原理：
    ├── 两臂长 4 km，互相垂直
    ├── 激光在臂中往返，测量光程差
    ├── 引力波经过时，一臂拉伸，一臂压缩
    └── 干涉条纹变化 → 探测引力波
    """
    
    def __init__(self, arm_length=4000, laser_power=200):
        self.arm_length = arm_length  # 米
        self.laser_power = laser_power  # 瓦特
        self.sensitivity = 1e-23  # 应变灵敏度
    
    def compute_strain(self, signal):
        """
        计算引力波应变
        
        h = ΔL / L
        """
        delta_L = signal  # 光程差
        h = delta_L / self.arm_length
        return h
    
    def matched_filter(self, data, template):
        """
        匹配滤波：从噪声中提取引力波信号
        
        原理：将数据与理论波形模板做互相关
        SNR = (data | template) / sqrt((template | template))
        """
        # 傅里叶变换
        data_fft = np.fft.fft(data)
        template_fft = np.fft.fft(template)
        
        # 噪声功率谱密度
        psd = self.noise_psd(len(data))
        
        # 加权互相关
        inner_product = np.sum(np.conj(data_fft) * template_fft / psd)
        norm = np.sqrt(np.sum(np.abs(template_fft)**2 / psd))
        
        snr = inner_product / norm
        return snr

4.3 双黑洞并合

双黑洞并合过程：

阶段 1：旋进（Inspiral）
├── 两黑洞互相绕转
├── 引力波带走能量和角动量
├── 轨道逐渐缩小，频率增加
├── 波形：啁啾信号（chirp）
└── 持续时间：数分钟到数小时

阶段 2：并合（Merger）
├── 两黑洞最内稳定圆轨道（ISCO）
├── 剧烈并合，释放巨大能量
├── 峰值光度：~10⁵⁶ erg/s（超过可观测宇宙所有恒星）
└── 持续时间：毫秒级

阶段 3：铃宕（Ringdown）
├── 新形成的黑洞振荡
├── 逐渐趋于稳态（克尔黑洞）
├── 准正规模（QNM）振荡
└── 持续时间：毫秒级

引力波能量释放：
├── GW150914：36 + 29 → 62 太阳质量
├── 质量亏损：3 太阳质量
├── 释放能量：E = Δm × c² ≈ 5 × 10⁴⁷ J
└── 相当于 3 个太阳质量完全转化为能量

第五章：系外行星探测

5.1 凌星法

def transit_lightcurve(time, period, t0, depth, duration):
    """
    模拟凌星光变曲线
    
    参数：
        time: 观测时间数组
        period: 轨道周期（天）
        t0: 凌星中心时刻
        depth: 凌星深度 (R_p/R_star)²
        duration: 凌星持续时间（天）
    """
    # 轨道相位
    phase = ((time - t0) % period) / period
    
    # 凌星条件
    in_transit = np.abs(phase - 0.5) < duration / (2 * period)
    
    # 光变曲线
    flux = np.ones_like(time)
    flux[in_transit] -= depth
    
    return flux

# 凌星参数与行星性质：
# ├── 凌星深度：ΔF/F = (R_p/R_star)² → 行星半径
# ├── 凌星周期：P → 轨道半长径（开普勒第三定律）
# ├── 凌星持续时间：T → 轨道倾角
# └── 凌星形状：U 型 vs V 型 → 撞击参数

5.2 大气光谱

凌星光谱学：

原理：
├── 恒星光穿过行星大气层
├── 不同分子吸收特定波长
├── 凌星深度随波长变化
└── 推导出大气成分

已探测到的系外行星大气成分：
├── H₂O（水蒸气）：多颗热木星
├── CO₂（二氧化碳）：WASP-39b
├── Na（钠）：HD 209458b
├── He（氦）：多颗行星
├── CH₄（甲烷）：一些冷行星
└── SO₂（二氧化硫）：WASP-39b（光化学产物）

JWST 的贡献：
├── 近红外光谱（NIRSpec）：1~5 μm
├── 中红外仪器（MIRI）：5~28 μm
├── 首次探测到 CO₂、SO₂
└── 开始探测宜居行星大气

课后思考

  • 如果暗物质不存在，如何修改引力理论（MOND）来解释旋转曲线？MOND 的困难是什么？
  • 为什么 CMB 的温度涨落只有十万分之一？如果涨落更大或更小，宇宙会怎样？
  • 引力波探测如何帮助测量哈勃常数？与电磁波方法相比有什么优势？
  • JWST 发现的早期星系对宇宙学标准模型有什么挑战？
参考资源：
- Planck 卫星结果
- LIGO 科学合作组
- JWST 系外行星科学
- NASA 系外行星百科
- 教材：《宇宙学》（Weinberg）、《引力与时空》（Thorne）
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